Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

In het eerste kwadrant trekt men de raaklijn aan de ellips . Deze snijdt van de assen twee stukken af. Welke hoek (in radialen) moet de voerstraal naar het raakpunt hebben opdat de som van de lengtes van deze twee (groene) stukken zo klein mogelijk zou zijn ? (het antwoord is hier afgerond maar de afrondingsfout bedraagt minder dan 0,1%)	A. 0,4
B. 0,5
C. 0,6
D. 0,7
E. 0,785

I C minimum length for green segments (sum) (in radians)	A.
B.
C.
D.
E.

De parametervoorstelling van de ellips is $\small\begin{Bmatrix}x=5\cos\alpha \\y=3\sin\alpha\end{Bmatrix}$ zodat een willekeurig punt van de ellips kan voorgesteld worden door ( 5 cos α, 3 sin α ).
De vergelijking van de raaklijn in ( 5 cos α, 3 sin α ) aan $\frac {x^2} {25}+\frac{y^2}{9}=1 $ is $\frac {5\cos\alpha.\,x} {25}+\frac{3.\sin\alpha.\,y}{9} $ ⇔ 3.cos α. x + 5 sin α. y = 15
Stuk dan van de y-as wordt afgesneden (x = 0) is $\frac {3} {\sin\alpha} $
Stuk dan van de x-as wordt afgesneden (y = 0) is $\frac {5} {\cos\alpha} $
De som L van de lengtes van de twee stukken is dus $L=\frac {3} {\sin\alpha}+\frac{5}{\cos\alpha} $
Merk op dat zowel als x → 0⁺ als x → + pi/2

de som L oneindig groot wordt.
In [ 0, +on

[ moet er wel een α te vinden zijn die L minimaal maakt, te meer daar L een continue functie is van α.
Om dit minimum te vinden berekenen we de afgeleide van L naar α :
$\mathbf{D_\alpha}\;L=-\frac{3}{\sin^2\alpha}.\cos{\alpha}-\frac{5}{\cos^2{\alpha}}.\left(-\sin{\alpha}\right)=\frac{5\sin{\alpha}}{\cos^2\alpha}-\frac{3cos{\alpha}}{\sin^2{\alpha}}$
Deze afgeleide is nul als
$\\\frac{5\sin{\alpha}}{\cos^2\alpha}=\frac{3cos{\alpha}}{\sin^2{\alpha}}\;\Leftrightarrow\;5\sin^3\alpha=3\cos^3\alpha\;\Leftrightarrow\;\tan^3\alpha=0,6\;\Leftrightarrow\;\tan\alpha=\sqrt[3]{0,6}$
Daar α moet liggen tussen 0 en pi/2

is dus $\small\alpha= Bgtan \sqrt[3]{0,6} \approx 0,700669$ (40°8′43″)