Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

De grafiek van y² = x² − x⁴ kan gezien worden als de ideale vorm voor het symbool oneindig. Een rechte x = k ( 0 < k < 1 ) snijdt het rechterdeel van de grafiek in twee punten A en B die samen met de oorsprong een gelijkbenige driehoek OAB vormen. Voor welke waarde van k is de oppervlakte van die driehoek het grootst ?	A.
B.
C.
D.
E. $\frac{\sqrt6}{3}$

The graph of y² = x² − x⁴ can be seen as the ideal form for the symbol infinity. A line x = k (0 < k < 1) intersects the right-hand side of the graph in two points A and B which together with the origin form an isosceles triangle OAB. For which value of k is the area of that triangle the largest?	A.
	B.
	C.
	D.
	E. $\frac{\sqrt6}{3}$

De rechte x = k snijdt de kromme in punten met y-waarden die volgen uit
y² = k² − k⁴ = k²(1 − k²) ⇒ $\pm\sqrt{1-k^2}$.
De basis van de gelijkbenige driehoek heeft lengte |AB| = $2k\sqrt{1-k^2}$.
De hoogte van die driehoek is k zodat de oppervlakte S gelijk is aan $S = k^2\sqrt{1-k^2}$.
Om hiervan een extremum te kennen, meer bepaald een maximum, moeten we de afgeleide (naar k) berekenen :
$D_k\;S=D_k(k^2\sqrt{1-k^2}=2k\sqrt{1-k^2}+k^2.\frac{1.(-2k)}{2\sqrt{1-k^2}}=\frac{2k(1-k^2)-k^3}{\sqrt{1-k^2}}=\frac{2k-k^3}{\sqrt{1-k^2}}=\frac{k(2-3k^2}{{\sqrt{1-k^2}}}$.
Buiten 0 volgen de nulwaarden uit $3k^2=2\;\Leftrightarrow\;k^2=\frac69\;\Leftrightarrow\;k=\pm\frac{\sqrt6}{3}$.
Daar $k=\frac{\sqrt6}{3}$ de enige nulwaarde is tussen 0 en 1, en we een maximum verwachten in dat interval, mogen we zeker zijn dat voor $k=\frac{\sqrt6}{3}$ de driehoek de maximale oppervlakte zal hebben.