Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

Van de grafieken van f (x) = +1 en g (x)= 2.lnx / x beperken we ons tot het eerste kwadrant. De rechte x = k ( k > 0 ) snijdt de grafieken van f en g in resp. A en B. Voor welke waarde van k is het lijnstuk [AB] het kortst ?	A. e
B. e.√e
C. e²
D. 4
E. 5

IN CONSTRUCTION . . . . . For which value of k the segment [AB] is the shortest ?	A. e
B. e(√e)
C. e²
D. 4
E. 5

De ordinaten van de snijpunten A en B zijn resp. $\frac1k+1$ en $\frac{2.\ln k}k$.
De afstand d(k) tussen A en B is bijgevolg $d(k)=\frac1k+1-\frac{2.\ln k}k$.
Om dit te minimaliseren moeten we de afgeleide (naar k) berekenen :
$\\\mathbf{D}_k\;d(k)=\mathbf{D}_k\;\left(\frac1k-\frac{2.\ln k}k\right)=-\frac{1}{k^2}-\frac{2.\frac1k.k-2.\ln k}{k^2}\\=-\frac{1}{k^2}-\frac{2}{k^2}+\frac{2.\ln k}{k^2}=-\frac{2.\ln k-3}{k^2}$
Daar f(x) = ln x en stijgende functie is, is de nulwaarde van 2.ln k − 3, het getal waarbij d(k) minimaal is :
2.lnk − 3 = 0 ⇔ ln k = 1,5 ⇔ k = e^1,5 = e.√e ≈ 4,4817