=\tan&space;x+2.\cot&space;x "\tan x+\tan y=\tan x+2.\tan\,(\frac{\pi}{2}-x)=\tan x+2.\cot x")
Om deze uitdrukking te minimaliseren
(een maximum zal er niet zijn
want we zien gemakkelijk dat deze som oneindig groot kan worden
→ x in de buurt van 0° of 90°)
moeten we naar de/een nulwaarde van de afgeleide zoeken :
=\frac{1}{\cos^2x}-\frac{2}{\sin^2x}=\frac{\sin^2x-2\cos^2x}{\sin^2x.\cos^2x}=\frac{\sin^2x-2(1-\sin^2x)}{\sin^2x.\cos^2x}\\=\frac{\sin^2x-2+2\sin^2x}{\sin^2x.\cos^2x}=\frac{3\sin^2x-2}{\sin^2x.\cos^2x} "\\\mathbf{D}\;(\tan x+2.\cot x)=\frac{1}{\cos^2x}-\frac{2}{\sin^2x}=\frac{\sin^2x-2\cos^2x}{\sin^2x.\cos^2x}=\frac{\sin^2x-2(1-\sin^2x)}{\sin^2x.\cos^2x}\\=\frac{\sin^2x-2+2\sin^2x}{\sin^2x.\cos^2x}=\frac{3\sin^2x-2}{\sin^2x.\cos^2x}")
Deze breuk wordt nul als \(\sin^2x=\frac23=\frac69 \;\Rightarrow\; \sin x=\frac{\sqrt6}{3}\)
(rekening houdend met x > 0, y > 0 en x + y =
)
Verder is \(\cos^2 x=1-\frac23=\frac13=\frac39\;\Rightarrow\;\cos x=\frac{\sqrt3}{3}\)
Hieruit volgt \(\large\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\frac{\sqrt6}{3}}{\frac{\sqrt3}{3}}=\frac{\sqrt6}{\sqrt3}=\sqrt2 \)
en dus ook \(\large\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\)
De kleinste waarde van tan x + 2.cot x is dus \(\sqrt2+2\frac{\sqrt2}{2}=2\sqrt2\approx2,8284\)
Dat we wel degelijk met een minimum te doen hebben blijkt uit het feit dat
vóór de nulwaarde de afgeleide negatief is en na de afgeleide
de afgeleide positief is, zodat we van dalen naar stijgen overgaan; merk ook op
dat de teller 3.sin² x − 2 linear is (v.d. vorm ax + b) t.o.v. sin² x en het teken van de noemer van de afgeleide steeds positief is.
