Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

Wat is het kleinste natuurlijk getal ( > 0 ) waarvoor de oppervlakte begrensd door de parabolen y = x² en y = x² + k een geheel getal is ?	A. 1
B. 4
C. 9
D. 16
E. 25
F. 36

IN CONSTRUCTION	A.
B.
C.
D.
E.
F.

De snijpunten van de twee parabolen volgt uit de oplossing van
$\frac12x^2=-\frac12x^2+k\;\Leftrightarrow\;x^2=k\;\Leftrightarrow\;x=\pm\sqrt k$
Wegens de symmetrie is die oppervlakte gelijk aan
$\\2.\int_0^{\sqrt k}\left(-\frac12x^2+k-\frac12x^2\right)\;dx=2.\int_0^{\sqrt k}(k-x^2)\;dx=2.\int_0^{\sqrt k}kdx\\-2.\int_0^{\sqrt k}x^2\;dx=2.[kx]_0^{\sqrt k}-2.\left[\frac{x^3}3\right]=2k\sqrt k-\frac23k\sqrt k=\frac 43 k\sqrt k$
Voor k = 9 zal dit resultaat geheel zijn. Dit is tevens het kleinst mogelijke natuurlijk getal groter dan 0 waarvoor dit resultaat geheel is. Het tweede kleinste natuurlijk getal dat voldoet is 36.