x + x² + x³ + . . . is een meetkundige reeks met reden x en is convergent voor alle x tussen −1 en 1. Die reekssom is bijgevolg \(\frac x{1-x}\) (*)
Uiteindelijk moeten we de volgende vergelijking oplossen :
\(\small\frac1x+\frac{x}{1-x}=5 \;\Leftrightarrow\; \frac{1-x+x^2}{x(1-x)}=5 \;\Leftrightarrow\;1-x+x^2=5(x-x^2)\;\Leftrightarrow\;1-x+x^2=5x-5x^2\)
Deze leidt tot de vierkantsvergelijking   6x² − 6x + 1 = 0.
Deze heeft een positieve discriminant en dus twee reële wortels waarvan de som gelijk is aan 1 ( formule S = −b/a )
Die twee oplossingen zijn \(\frac {6\,+\,2\sqrt3} {12}=\frac12+\frac{\sqrt3}6\approx 0,789 \)   en \(\frac {6\,-\,2\sqrt3} {12}=\frac12-\frac{\sqrt3}6\approx 0,211 \)   beiden gelegen tussen 1 en +1 en dus niet te verwerpen.

---

(*) Die (reeks)som  S  kan ook gevonden worden door eerst   x + x² + x³ + …. gelijk te stellen aan S. Dan is het product   S.x = x² + x³ + . . .
Daardoor is   S − S.x = x  ⇔  S(1 − x) = x  ⇔  S = \(\frac{x}{1-x}\)