Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

$https://latex.codecogs.com/png.image?\inline \large \dpi{120}\frac 1{10}+\frac 2{100}+\frac 3{1000}+\frac 4{10000}+$ Hoe groot is de bovenstaande som ? Als je die som schrijft als een onvereenvoudigbare breuk, dan is de som van teller en noemer gelijk aan	A. 51
B. 61
C. 71
D. 81
E. 91
F. 101

$https://latex.codecogs.com/png.image?\inline \large \dpi{120}\frac 1{10}+\frac 2{100}+\frac 3{1000}+\frac 4{10000}+$ If you write this sum as a simple fraction (irreducible), the sum of the numerator and denominator is equal to	A. 51
	B. 61
	C. 71
	D. 81
	E. 91
	F. 101

De reeks is noch een rekenkundige reeks, noch een meetkundige reeks.
Nochtans "zit de reeks vol" meetkundige reeksen. Hiervoor moet je de termen eerst anders schrijven :
$\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\frac{1}{10000}+\cdots\\{\color{Green}.}\quad+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\frac{1}{10000}+\cdots\\{\color{Green}.}\qquad\qquad\;\;\;\;\frac{1}{1000}+\frac{1}{10000}+\cdots $
enz.. (oneindig veel reeksen met elk oneindig veel termen)
De eerste reeks heeft als reekssom $\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{1-\frac1{10}}=\frac1{10}\cdot\frac{10}{9}=\frac19$
De tweede reeks heeft als reekssom $\frac{1}{100}\cdot\frac{1}{1-\frac1{10}}=\frac1{100}\cdot\frac{10}{9}=\frac1{90}$
De derde reeks heeft als reekssom $\frac{1}{1000}\cdot\frac{1}{1-\frac1{10}}=\frac1{1000}\cdot\frac{10}{9}=\frac1{900}$
enz . . .
De gevraagde som is dus gelijk aan
$\frac19+\frac1{90}+\frac1{900}+\frac1{9000}+\cdots=\frac19\cdot\frac{1}{1-\frac1{10}}=\frac19\cdot\frac{10}{9}=\frac{10}{81}$
De som van teller en noemer is dus . . .
Deze vraag is een spin off van vraag 30 die op woe 13 jan 2016 gesteld werd op de Junior Wiskunde Olympiade. Toen werd een ander aspect van die reeks gevraagd : welk cijfer komt NIET voor in de decimale schrijfwijze van deze som ?