De afgeleide is D(1 – x²) = –2x zodat de vergelijking van de raaklijn in (a, 1–a²) is:
y – (1 – a²) = –2a(x – a) ⇔ y = –2ax + 2a² + 1 – a² ⇔ y = –2ax + a² + 1
Deze snijdt de y-as in (0, a²+1) in een punt waarvan de abscis oplossing is
van 0 = –2ax + a² + 1 dus in \(\left (\frac{a^2+1}{2a},0 \right )\). De oppervlakte S van de driehoek ABC is bijgevolg \(\frac12(a^2+1).\frac{a^2+1}{2a}=\frac{(a^2+1)^2}{4a}\).
Om hiervan een
extremum (minimum) te vinden moeten we de afgeleide berekenen van S naar a, maar men kan evengoed de afgeleide van 4.S bepalen (zo hebben ‘geen last’ van de factor 4 in de noemer).
=\frac{2(a^2+1).2a.a-(a^2+1).1}{a^2}=\frac{4a^2(a^2+1)-(a^2+1)}{a^2}=\frac{(a^2+1)(4a^2-1)}{a^2} "D_a\;(4S)=\frac{2(a^2+1).2a.a-(a^2+1).1}{a^2}=\frac{4a^2(a^2+1)-(a^2+1)}{a^2}=\frac{(a^2+1)(4a^2-1)}{a^2}")
Vermits a² + 1 en a² positief zijn wordt het teken van die afgeleide volledig bepaald door 3a² – 1 (nl.
+ − +) met nulwaarden \(\pm\frac{\sqrt3}{3}\)
Het stijgen en dalen van 4S verloopt dus als ↗ ↘ ↗ zodat we een minimale waarde krijgen voor 4S (en ook voor S) bij \(x = \frac{\sqrt3}{3}\approx 0,57\)
