In het eerste kwadrant trekt men de
raaklijn in (a, 5 − a²) aan de parabool
y = 5 − x². Deze snijdt de assen in A en B
en is dus de drager van de schuine zijde
van de rechthoekige driehoek OAB.
Voor welke waarde van a is de som
van de lengtes van de twee rechthoekszijden minimaal ? (NIET de oppervlakte van de Δ )
De afgeleide is y ′ = D (5 − x²) = −2x zodat de vergelijking van de raaklijn in (a, 5 − a²) is :
y − (5 − a²) = −2a(x − a) ⇔ y = −2ax + 2a² + 5 − a² ⇔ y = −2ax + a² + 5
Deze snijdt de y-as in ( 0, a² + 5 ) en de x-as in een punt waarvan de abscis oplossing is van 0 = −2ax + a² + 5 dus in \(\left(\frac{a^2+5}{2a},\;0\right)\).
De som van de lengtes van de twee rechthoekszijden is bijgevolg
\(a^2+5+\frac{a^2+5}{2a}=\frac{\left(a^2+\,5\right).2a\,+\,a^2+\,5}{2a}=\frac{2a^3+\,a^2+\,10a\,+\,5}{2a}\).
Om hiervan een extremum (min.) te vinden moeten we de afgeleide berekenen naar a :
\(\frac{(6a^2+\,2a\,+\,10).2a-(2a^3+\,a^2+\,10a\,+\,5).2}{4a^2}
=\frac{12a^3+\,4a^2+\,20a\,-\,4a^3-\,2a^2-\,20a\,-\,10}{4a^2}=\frac{8a^3+\,2a^2-\,10}{4a^2}\\=\frac{4a^3+\,a^2-\,5}{2a^2}=\frac{(a\,-\,1)(4a^2+\,5x\,+\,5)}{2a^2}\small\text{ (regel van HORNER gebruikt)}\)
Daar a = 1 de enige nulwaarde is kan het niet anders dat hier het minimum optreedt.
(de gebruikelijke tabel bevestigt dat)
