Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

Welke waarde moet de parameter k aannemen opdat de oppervlakte die de parabool y = k − x² omsluit met de x-as, zou gelijk zijn aan 36 ?	A. 6
B. 9
C. 12
D. 18
E. een niet geheel getal

IN CONSTRUCTION	A.
B.
C.
D.
E.

1^ste manier :
De parabool snijdt de x-as in punten met abscis $-\sqrt k$ en $+\sqrt k$.
De oppervlakte van het gebied wordt gegeven door (figuur symmetrisch t.o.v. de y-as)
$\\2\int_{0}^{\sqrt k}{\left(k-x^2\right)\,dx=2\;\left(\int_{0}^{\sqrt k}k\:dx\:-\int_{0}^{\sqrt k}{x^2\,dx}\right)}=2k\left[x\right]_0^{\sqrt k}-2\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^{\sqrt k}\\=2k\sqrt k-\frac{2}{3}k\sqrt k=\frac{4}{3}k\sqrt k$
Er moet dus gelden $\\\frac43 k\sqrt k=36\;\;\Leftrightarrow\;\;k\sqrt k=27=3^3\;\;\Leftrightarrow\;\;k^3={(3^3)}^2={(3^2)}^3\;\Leftrightarrow\;k=3^2=9 k$
2^de manier :
Volgens ARCHIMEDES is de oppervlakte van de driehoek gevormd door de drie snijpunten met de assen 3/4

van het paraboolsegement zijn.
Dus die oppervlakte moet 3/4

.36 = 27 zijn.
De parabool snijdt de x-as in punten met abscis $-\sqrt k$ en $+\sqrt k$.
De basis van de driehoek is dus $2\sqrt k$ lang, de hoogte is k (stel x = 0 in y = k − x²) zodat de oppervlakte dus $k\sqrt k$ is.
Uit de vergelijking $k\sqrt k = 27$ ziet men onmiddellijk dat k = 9 moet zijn.