Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

Wat is de kleinste positieve hoek x die voldoet aan (tan²x − 1).(cot²x − 1) = −12 ?	A. 15°
B. 22,5°
C. 30°
D. 45°
E. 60°

What is the smallest angle satisfying the equation (tan²x − 1).(cot²x − 1) = −12 ?	A. 15°
B. 22,5°
C. 30°
D. 45°
E. 60°

We zien al duidelijk dat alle veelvouden van 90° geen oplossing zijn. We lossen eerst de vergelijking op :
$(\tan^2x-1)(\cot^2x-1)=-12\\\Leftrightarrow\;(\tan^2x-1)\left(\frac{1}{\tan^2x}-1\right)=-12\\\Leftrightarrow\;(\tan^2x-1)\left(\frac{1-\tan^2x}{\tan^2x}\right)=-12\\\Leftrightarrow\;(\tan^2x-1)^2=12.\tan^2x\\\Leftrightarrow\;1=3.\frac{4.\tan^2x}{(1-\tan^2x)^2}\\\Leftrightarrow\;\frac13=\left(\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}\right)^2\\\Leftrightarrow\;\frac39=\tan^22x\\\Leftrightarrow\;\tan2x=\frac{\sqrt3}{3}\;\vee\;\tan2x=-\frac{\sqrt3}{3}\\\Leftrightarrow\;2x=30^\circ+k.180^\circ\;\vee\;2x=-30^\circ+k.180^\circ\\\Leftrightarrow\;x=15^\circ+k.90^\circ\;\vee\;x=-15^\circ+k.90^\circ$
Hieruit blijkt dat er 8 oplossingen zijn in [ 0°, 360° ]
De kleinste daarvan is 15°.