Voor welk koppel   (a,b)
is   ( 1 + i )13 = a + bi ? 		A.   ( 1, 1 )
B.   ( 32, 32 )
C.   ( 64, 64 )
D.   ( − 64, − 64 )
E.   ( 8192, 8192 )
A    B    C    D    E

[ 5-7911- op net sinds 18.9.15-(E)-29.10.2023 ]

Translation in   E N G L I S H

Find a couple ( a, b )
of positive integers
that satisfy
( 1 + i )13 = a + bi 		A.  ( 1, 1 )
B.  ( 32, 32 )
C.  ( 64, 64 )
D.  ( − 64, − 64 )
E.  ( 8192, 8192 )

Oplossing - Solution

1ste manier :
(1 + i)13 = (1 + i)(1 + i)4(1 + i)4(1 + i)4
Nu is  (1 + i)2 = 1 + 2i − 1 = 2i  zodat  (1 + i)4 = (2i)² = −4
Bijgevolg is (1 + i)13 = (1 + i).(−4)(−4)(−4) = − 64(1 + i) = − 64 − 64i
zodat   (a,b) = (− 64,− 64)
2de manier :
Het hoofdargument van   1 + i   is  45°.
13 × 45° = 585° , 585° − 360° = 225°
Dus (1 + i)13 ligt in het derde kwadrant.
Bijgevolg moeten a en b negatief zijn en moet D. het antwoord zijn.