Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}}\cdot x-x\right)$	A. −2
B. −1
C. 0
D. 1
E. 2

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}}\cdot x-x\right)=\lim_{x\to+\infty}\left[\left(\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}}-1\right)\cdot x\right]$
$=\lim_{x\to+\infty}\left[\left(\frac{\sqrt{x-2}-\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+2}}\right)\cdot x\right]$
$=\lim_{x\to+\infty}\left[\left(\frac{(\sqrt{x-2}-\sqrt{x+2})(\sqrt{x-2}+\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+2}.(\sqrt{x-2}+\sqrt{x+2})}\right)\cdot x\right]$
$=\lim_{x\to+\infty}\left[\left(\frac{x-2-x-2}{\sqrt{x+2}.(\sqrt{x-2}+\sqrt{x+2})}\right)\cdot x\right]$
$=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{-4x}{\sqrt{x+2}.(\sqrt{x-2}+\sqrt{x+2})}\right)$
$=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{-4x}{\sqrt{x^2-4}+x+2)}\right)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-4x}{x\left(\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}+1+\frac2x\right)}$
$=\lim_{x\to+\infty}\frac{-4}{\left(\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}+1+\frac2x\right)}=\frac{-4}{\sqrt1+1+0}=-\frac42=-2$