We steunen enigszins op de figuur maar kunnen met zekerheid zeggen dat beide krommen door (−1,0) en (1,0) gaan.
Zonder figuur zal wat meer onderzoek moeten gedaan worden omtrent de ligging van beide krommen.
1ste manier : berekening met een bepaalde integraal
De oppervlakte n het oranje deel is gelijk aan \(\int_{-1}^{+1}(\sqrt{1-x^2}-x^3+x)\;dx\)
We berekenen eerst \(\int_{-1}^{+1}(\sqrt{1-x^2}\) via de substitutie
x = sin t
(dan is dx = cos t dt en zijn de nieuwe grenzen -½ en ½)
]_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} "\\\int_{-1}^{+1}\sqrt{1-x^2}\:dx=\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}{2}}.\sqrt{1-\sin^2t}.\cos t.dt=\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2t.dt=[\frac12(t+\sin t.\cos t)]_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}")
-sin{(}-\frac{\pi}{2})\cos(-\frac{\pi}{2})\right)\!=\!\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\!+\!0\!+\!\frac{\pi}{2}\!-\!0\right)=\frac{\pi}2\\\int_{-1}^{+1}x^3dx=\left[\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^{+1}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0\\\int_{-1}^{+1}xdx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0&space; "\\=\!\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}+sin{\frac{\pi}{2}}cos{\frac{\pi}{2}}-(-\frac{\pi}{2})-sin{(}-\frac{\pi}{2})\cos(-\frac{\pi}{2})\right)\!=\!\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\!+\!0\!+\!\frac{\pi}{2}\!-\!0\right)=\frac{\pi}2\\\int_{-1}^{+1}x^3dx=\left[\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^{+1}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0\\\int_{-1}^{+1}xdx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0")
De uiteindelijke oppervlakte is dus gelijk aan
− 0 + 0 =
2de manier : berekening zonder bepaalde integraal
De grafiek van \(\sqrt{1-x^2}\) is een halve cirkel met middelpunt O en straal 1.
De kromme "begint" dus in (−1,0) en "eindigt" dus in (1,0).
y = x³ − x is een derdegraadskromme die ook door deze twee punten gaat en waarvan de grafiek symmetrisch is t.o.v. de oorsprong (ONEVEN functie !)
Hierdoor is de gevraagde oppervlakte precies de oppervlakte van een halve cirkel met straal 1,
m.a.w. ½π1² = ½π.
en
(π + 1)