Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

Hoeveel 3x3 diagonaalmatrices bestaan er die idempotent zijn ? (Een vierkante matrix A is idempotent als A² = A )	A. 1
B. 3
C. 6
D. 8
E. 9

How many 3× 3 diagonal matrices are idempotent ?	A. 1
B. 3
C. 6
D. 8
E. 9

$\begin{bmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\\\end{bmatrix}idempotent\Leftrightarrow\begin{bmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\\\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\\\end{bmatrix}\\\Leftrightarrow\begin{bmatrix}a^2&0&0\\0&b^2&0\\0&0&c^2\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\\\end{bmatrix}\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}a^2=a\\b^2=b\\c^2=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}a=0\vee a=1\\b=0\vee b=1\\c=0\vee c=1\end{matrix}\right.$
Er zijn dus 2×2×2 = 8 mogelijkheden voor (a, b, c) zodat er dus acht 3×3 diagonaalmatrices zijn die idempotent zijn.