Wiskunde/Math Multiple Choice

Wat is de oppervlakte van het gebied waarin alle koppels ( x, y ) liggen die voldoen aan de volgende drie voorwaarden : 1) 0 ≤ x ≤ 2 2) 0 ≤ y ≤ x + 1 3) 0 ≤ y ≤ x² + 1	A. \(\boldsymbol{\frac{11}{3}}\)
B. \(\boldsymbol{\frac{10}{3}}\)
C. \(\boldsymbol{\frac{17}{6}}\)
D. \(\boldsymbol{\frac{23}{6}}\)
E. 4

IN CONSTRUCTION	A.
B.
C.
D.
E.

0 ≤ x ≤ 2 betekent dat we alleen moeten kijken naar het gebied tussen de y-as en de rechte x = 2
0 ≤ y ≤ x + 1 betekent dat we alleen het gebied boven de x-as en onder de rechte y = x + 1 moeten beschouwen
0 ≤ y ≤ x² + 1 betekent dat we alleen het gebied boven de x-as en onder de parabool y = x²+ 1 moeten beschouwen Dit alles betekent dat we de oppervlakte moeten berekenen van het gebied dat in de figuur oranje is gekleurd. De oppervlakte van het trapezium dat door het oranje gedeelte bijna volledig wordt ingenomen is 4. Dit moet verminderd worden met
$\int_{0}^{1}{\;\left[\left(x+1\right)-\left(x^2+1\right)\right]\;d x}=\int_{0}^{1}{\;\left(x-x^2\right)}\;dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$
De oppervlakte van het oranje gebied is dus $4-\frac16=\frac{23}6$