Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

Voor welke waarde van k is het product van A en B $A=\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}\qquad B=\begin{bmatrix}k&1\\4&2\\\end{bmatrix}$ een matrix van rang 1 ?	A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

IN CONSTRUCTION	A.
B.
C.
D.
E.

1^ste manier :
$A.B=\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}k&1\\4&2\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}k+8&5\\k+4&3\\\end{bmatrix}=C$
Deze matrix C heeft rang 1 als zijn determinant gelijk is aan 0 :
det C = 3k + 24 − 5k − 20 = 0 ⇔ 4 = 2k ⇔ k = 2
2^de manier :
Wegens de formule det(A.B) = detA.detB zal det(A.B) enkel nul kunnen zijn als A of B singulier is. Daar de eerste matrix A regulier is, moet de tweede matrix B singulier ( det(B)=0 ) zijn. Dit wil zeggen dat de kolommen of rijen evenredig moeten zijn. Dit kan enkel als k = 2 (op zicht te zien!)