x x gricha             v7547 - 7.8.2022
De langste diagonaal van een regelmatige dertienhoek, ingeschreven in een cirkel met straal 1, heeft een lengte van

 A.    \(\boldsymbol{2 }\)
B.  \(\boldsymbol{2\,\sin\frac {\pi} {26} }\)
C.  \(\boldsymbol{\sin\frac {5\pi} {13} }\)
D.  \(\boldsymbol{2\,\sin\frac {7\pi} {13} }\)
E.  \(\boldsymbol{2\,\sin\frac {11\pi} {13} }\)
F.  \(\boldsymbol{\sin\frac {6\pi} {13} }\)
A    B    C    D    E    F

[ 5-7547 - op net sinds 28.8.2020-(E)-15.12.2023 ]

Translation in   E N G L I S H

IN CONSTRUCTION

Oplossing - Solution

Vanuit één punt van de regelmatige 13-hoek kan men twee diagonalen trekken die even lang zijn en tevens de langsten zijn (met lengte x).
Zo onstaat een gelijkbenige driehoek met tophoek \(\frac12.\frac {2\pi} {13}=\frac{\pi}{13}\) en basishoeken \(\frac{1}{2}\left(\pi-\frac{\pi}{13}\right)=\frac{1}{2}.\frac{12}{13}\pi=\frac{6}{13}\pi\).  De cirkel is de omcirkel van deze gelijkbenige driehoek zodat de sinusregel kan worden toegepast :
\(\frac{x}{sin{\frac{6\pi}{13}}}=2.1\;\Leftrightarrow\; x=2.sin{\frac{6\pi}{13}}\;\Leftrightarrow\; x=2.sin{\left(\pi-\frac{6\pi}{13}\right)}\;\Leftrightarrow\; x=2.sin{\frac{7\pi}{13}}\)
gricha