Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

In dit vierkant is tan α gelijk aan	A. \(1\)
B. \(\frac34\)
C. \(\frac{\sqrt3}{3}\)
D. \(\frac45\)
E. \(\frac35\)

In this square tan α equals	A. \(1\)
B. \(\frac34\)
C. \(\frac{\sqrt3}{3}\)
D. \(\frac45\)
E. \(\frac35\)

Het schaadt de algemeenheid niet als we voor de zijde van het vierkant 2 nemen.
1^ste manier :
$\\\tan\alpha=\tan(90^\circ-2\beta)=\cot2\beta=\frac{\cos 2\beta}{\sin 2\beta}=\frac{\cos^2\beta-\sin^2\beta}{2.\sin\beta.\cos\beta}\\=\frac{\left(\frac{2}{\sqrt5}\right)^2-\left(\frac{1}{\sqrt5}\right)^2}{2.\frac{1}{\sqrt5}.\frac{2}{\sqrt5}}=\frac{4-1}{4}=\frac34$
2^de manier :
$\\\tan\alpha=\tan(90^\circ-2\beta)=\cot2\beta=\frac{1}{\tan 2\beta} =\frac{1-\tan^2\beta}{2\tan\beta}=\frac{1-\frac14}{2.\frac12}=\frac34$
3^de manier :
Als je nog één lijnstuk trekt zie je dat je dat drie van de vier delen van het vierkant bestaat uit rechthoekige driehoeken : twee met rechthoekszijden 1 en 2 (en dus schuine zijde

) en één gelijkbenige rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 1 (en dus schuine zijde v2puur

).
Door toepassing van de cosinusregel in de 'binnenste' driehoek verkrijgen we dan : $(\sqrt2)^2=(\sqrt5)^2+(\sqrt5)^2-2.\sqrt5.\sqrt5.\cos\alpha \;\;⇔\;\; 2 = 5 + 5 − 10.\cos\alpha\\ ⇔ −8= −10.\cos\alpha \;\;⇔\;\; \cos\alpha = \frac{-8}{-10}=\frac45\\ 1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha} \;\;⇔\;\;1+\tan^2\alpha=\frac{25}{16}\;\;⇔\;\;\tan^2\alpha=\frac{9}{16} $
Hieruit volgt dus direct de waarde van α