Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

Als a een wortel is van x² + x − 1 = 0, dan is a⁴ + 3a gelijk aan	A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

If a is a solution of x² + x − 1 = 0, then a⁴ + 3a equals	A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

1^ste manier :
x² + x − 1 = 0 heeft als discriminant D = 1 + 4 = 5
De oplossingen zijn $x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$
$\\(x_{1,2})^2=\left(\frac{-1\pm\sqrt5}{2}\right)^2=\frac{1\mp2\sqrt5+5}{4}=\frac{6\mp2\sqrt5}{4}=\frac{3\mp\sqrt5}{2}\\(x_{1,2})^4=\left(\frac{3\mp\sqrt5}{2}\right)^2=\frac{9\mp6\sqrt5+5}{4}=\frac{14\mp6\sqrt5}{4}=\frac{7\mp3\sqrt5}{2}\\(x_{1,2})^4+3x_{1,2}=\frac{7\mp3\sqrt5}{2}+3.\frac{-1\pm\sqrt5}{2}=\frac{7\mp3\sqrt5-3\pm3\sqrt5}{2}=\frac{7-3}{2}=2$
2^de manier :
Als α een wortel is van x² + x − 1 = 0 is natuurlijk α² + α − 1 = 0 en α² = 1 − α
Dus α⁴ = (1 − α)² = 1 − 2α + α² = 1 − 2α + 1 − α = 2 − 3α
Bijgevolg is α⁴ + 3α = 2 − 3α + 3α = 2