Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

De limiet $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {x\,+\,\sin 2x} {x\,+\,\sin x}$ is gelijk aan	A. 0,5
B. 1
C. 1,5
D. 2
E. 4

The limit $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {x\,+\,\sin 2x} {x\,+\,\sin x}$ is equal to	A. 0.5
B. 1
C. 1.5
D. 2
E. 4

1^ste manier :
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x\,+\,\sin 2x}{x\,+\,\sin x}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{x}{2x}+\frac{\sin2x}{2x}}{\frac{x}{2x}+\frac{\sin x}{2x}}=\frac{\frac12+1}{\frac12+\frac12}=\frac{\frac32}{1}=\frac32$
2^de manier : met de verdubbelingsformule voor sin 2|alpha;
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x\,+\,\sin 2x}{x\,+\,\sin x}=\lim_{x\to 0}\frac{x+2\sin x\cos x}{x+\sin x}=\frac{\frac{x}{\sin x}+2\cos x}{\frac{x}{\sin x}+1}=\frac{1+2}{1+1}=\frac32$
3^de manier : met de regel van de l'Hospital
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x\,+\,\sin 2x}{x\,+\,\sin x}\left(=\frac00\right)\buildrel H\over=\lim_{x\to 0}\frac{1+2\cos x}{1+\cos x}=\frac{1+2}{1+1}=\frac32$
4^de manier : "officieus" → in bijna alle gevallen kan je sin2x door 2x en sinx door x vervangen (als x→0) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x+\sin2x}{x+\sin x}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x+2x}{x+x}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{3x}{2x}=\frac32$

^{gricha - v7411 - 12.8.13}