1^ste manier : met de optellingsformules
cos α + cos(120°− α) + cos(120°+ α)
= cos α + cos 120°.cos α + sin120°.sin α + cos 120°.cos α − sin 120°.sin α
= cos α + 2. cos 120°.cos α
= cos α − 2. cos 60°.cos α
= cos α − cos α
= 0
2^de manier : met de formules van SIMPSON
cos α + cos(120°− α) + cos(120°+ α)
= cos α + 2.cos 120°.cos (−α )
= cos α − 2.cos 60°.cos α
= cos α − cos α
= 0
3^de manier : via complexe getallen
De drie derdewortels van 1.(cos 3α + i.sin 3α ) , afgekort 1.cis 3α zijn
1.cis(α + k.120°), m.a.w.
cos α + i.sin α , cos(α+120°) + i.sin(α+120°) en cos( −120°) + i.sin( −120°)
Het reële gedeelte van deze complexe getallen zijn dus
cos α , cos(α + 120°), cos(α − 120°)
Aangezien er nu een stelling bestaat die zegt dat de som van alle n-de wortels van een complex getal nul is, is ook de som van de reële delen van alle n-de wortels van een complex getal 0. Dus ...