Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\displaystyle \lim_{x \to 0} \: \frac {x\,-\,\sin 2x} {x\,-\,\sin 3x}$ is gelijk aan	A. 1
B.
C.
^D. $\frac {8}{27}$
E.

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\displaystyle \lim_{x \to 0} \: \frac {x\,-\,\sin 2x} {x\,-\,\sin 3x}$ is equal to	A. 1
B.
C.
^D. $\frac {8}{27}$
E.

1^ste manier : zonder de regel van de l'Hospital
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{x\,-\,\sin 2x}{x\,-\,\sin 3x}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{1-\frac{\sin 2x}{x}}{1-\frac{\sin 3x}{x}}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{1-2.\frac{\sin 2x}{2x}}{1-3.\frac{\sin 3x}{3x}}=\frac{1-2}{1-3}=\frac{-1}{-2}=\frac12$
2^de manier : met de regel van de l'Hospital
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{x\,-\,\sin 2x}{x\,-\,\sin 3x}\left(=\frac00\right)\buildrel H\over=\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{1-2\cos2x}{1-3\cos3x}=\frac{1-2.1}{1-3.1}=\frac{-1}{-2}=\frac12$
3^de manier : (meestal sneller maar "officieus")
Als de hoek die bij sin staat naar 0 nadert kan je in meer dan 90% van de gevallen "sin weglaten". Dit heeft te maken met het feit dat sin x ≈ x voor x zeer dicht bij 0.
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{x\,-\,\sin 2x}{x\,-\,\sin 3x}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{x-2x}{x-3x}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{-x}{-2x}=\frac12$