Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\displaystyle \lim_{x \to 0} \: \frac {x\:+\:\sin 2x} {x^2\,+\:\tan x}$ is gelijk aan	A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. een negatief getal

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\displaystyle \lim_{x \to 0} \: \frac {x\:+\:\sin 2x} {x^2\,+\:\tan x}$ is equal to	A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. a negative number

1^ste manier : teller en noemer delen door x en rekening houden met $\small\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\sin ax}{bx} =\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\tan ax}{bx}=\frac ab$
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{x\:+\:\sin 2x}{x^2\,+\:\tan x}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{1+\frac{\sin 2x}x}{x+\frac{\tan x}x}=\frac{1+2}{0+1}=3$
2^de manier : met de regel van de l'Hospital
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{x\:+\:\sin 2x}{x^2\,+\:\tan x}\left(=\frac00\right)\buildrel H\over=\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{1+2\cos2x}{2x+\frac{1}{\cos^2x}}=\frac{1+2.1}{2.0+\frac{1}{1^2}}=\frac{3}{0+1}=3$
3^de manier : "officieus" '
door het feit dat in de buurt van x = 0 sin x en tan x nagenoeg nul zijn, kan in bijna alle oefeningen geprobeerd worden om sin x en tan x te vervangen door x (met een zeer grote kans op succes)
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{x\:+\:\sin 2x}{x^2\,+\:\tan x}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{x+2x}{x^2+x}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{3x}{x^2+x}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{3}{x+1}=3$
_{meestal de kortste manier !}

^{gricha - v7105 - 7.8.12}