Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\displaystyle \lim_{x \to 0} \: \frac {x\,+\,\sin 2x} {x\,-\,\tan 2x}$ is gelijk aan	A. 1
B. 2
C. − 3
D. 4
E. − 4

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\displaystyle \lim_{x \to 0} \: \frac {x\,+\,\sin 2x} {x\,-\,\tan 2x}$ is equal to	A. 1
B. 2
C. − 3
D. 4
E. − 4

1^ste manier : teller en noemer delen door x en rekening houden met
$\small\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{\sin ax}{bx}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{\tan ax}{bx}=\frac ab $
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{x\,+\,\sin 2x}{x\,-\,\tan 2x}=\lim_{x\to 0}\:\frac{1+\frac{\sin2x}{x}}{1-\frac{\tan2x}{x}}=\frac{1+2}{1+2}=\frac{3}{-1}=-3$
2^de manier : met de regel van de l'Hospital
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{x\,+\,\sin 2x}{x\,-\,\tan 2x}\left(=\frac00\right)\buildrel H\over=\lim_{x\to 0}\:\frac{1+2\cos2x}{1-\frac{2}{\cos^2 2x}}=\frac{1+2}{1-2}=\frac{3}{-1}=-3$
3^de manier : "officieus" ' door het feit dat in de buurt van x = 0 sin x en tanx nagenoeg nul zijn, kan in bijna alle oefeningen geprobeerd worden om sin x en tan x te vervangen door x (met een zeer grote kans op succes)
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\:\frac{x\,+\,\sin 2x}{x\,-\,\tan 2x}=\lim_{x\to 0}\:\frac{x+2x}{x-2x}=\lim_{x\to 0}\:\frac{3x}{-x}=-3$
meestal de kortste manier !

^{gricha - v7104 - 4.5.15}