Wiskunde Multiple Choice Vraag

Hoeveel buigpunten heeft de functie $f(x)=\frac{2x}{1+x^2}$ ?	A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. geen enkel

How many inflection points does the function have?	A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. none

Eerste afgeleide :
$f^\prime\left(x\right)=\frac{2\left(1+x^2\right)-2x.2x}{(1+x^2)^2}=\frac{2+2x^2-4x^2}{(1+x^2)^2}=2\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$
Hieruit kunnen we al concluderen dat de extrema (minimum en maximum) zich bevinden in −1 en +1.
Voor de buigpunten hebben we de tweede afgeleide nodig :
$\\f^{\prime\prime}(x\)=2.\;D\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}=2.\;\frac{-2x(1+x^2)^2-(1-x^2).2.(1+x^2).2x}{(1+x^2)^4}$
$=4\frac{-x\left(1+x^2\right)-\left(1-x^2\right).2x}{(1+x^2)^3}=4x\frac{-1-x^2-2+2x^2}{(1+x^2)^3}=4x\frac{x^2-3}{(1+x^2)^3}$
We zien dat deze tweede afgeleide drie nulwaarden heeft :
x = 0, x = −

en x = +

.
Daar ze alle drie tot het domein behoren en het schema voor de tweede afgeleide is :
x | −

.
D²f(x) | − 0 + 0 − 0 +
f(x) | ∩ BP ∪ BP ∩ BP ∪
kunnen besluiten dat er drie buigpunten zijn.