Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

In de figuur zie je de beeldpunten van de complexe getallen z₁ en z₂ . Ze liggen in het vlak van GAUSS op de goniometrische cirkel én op de bissectrices. Waar ligt het beeldpunt van het quotiënt z₁ : z₂ ? In het punt . . .	A. A
B. B
C. C
D. D
E. buiten de cirkel

Where can you find the quotient z₁ / z₂ ? ( unit circle given) At the point	A. A
B. B
C. C
D. D
E. outside the circle

1^ste manier :
$z_1=\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\qquad z_2=-\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\\z_1:z_2=\frac{\sqrt2+i\sqrt2}{-\sqrt2+i\sqrt2}=\frac{(\sqrt2+i\sqrt2)^2}{(-\sqrt2+i\sqrt2).(\sqrt2+i\sqrt2)}\\=\frac{2+4i-2}{(i\sqrt2)^2-(\sqrt2)^2}=\frac{4i}{-2-2}=-i$
$z_1=\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\qquad z_2=-\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\\z_1:z_2=\frac{\sqrt2+i\sqrt2}{-\sqrt2+i\sqrt2}=\frac{(\sqrt2+i\sqrt2)^2}{(-\sqrt2+i\sqrt2).(\sqrt2+i\sqrt2)}\\=\frac{2+4i-2}{(i\sqrt2)^2-(\sqrt2)^2}=\frac{4i}{-2-2}=-i$
$z_1=\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\qquad z_2=-\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\\z_1:z_2=\frac{\sqrt2+i\sqrt2}{-\sqrt2+i\sqrt2}=\frac{(\sqrt2+i\sqrt2)^2}{(-\sqrt2+i\sqrt2).(\sqrt2+i\sqrt2)}\\=\frac{2+4i-2}{(i\sqrt2)^2-(\sqrt2)^2}=\frac{4i}{-2-2}=-i$
2^de manier :
We nemen r.cis α als verkorte schrijfwijze van r(cos α + i.sin α).
Wegens de gekende formule $\frac{r_1.cis\alpha_1}{r_2.cis\alpha_2}=\frac{r_1}{r_2}cis(\alpha_1-\alpha_2)$ is
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{1.cis 45^\circ}{1.cis 135^\circ}=1.cis(-90^\circ)=\cos(-90^\circ)+i\sin(-90^\circ)=-i$
3^de manier :
Zoals 6 : 2 = 3 omdat 2 × 3 = 6 is
$z_1\;\textbf{:}\;z_2=-i\;\;want\;\;\left(-\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\right)\left(-i\right)=\frac{\sqrt2}{2}i+\frac{\sqrt2}{2}=z_1$