Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

n en m zijn natuurlijke getallen verschillend van 0 $\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^n-a^n}{x^m-a^m}$ is gelijk aan	A. 1
B. a
C. \(\large \boldsymbol {\frac nm} \)
D. a^n−m
E. \(\large \boldsymbol {\frac nm} \). a^n−m

n and m are natural numbers different from zero $\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^n-a^n}{x^m-a^m}$ is equal to	A. 1
	B. a
	C. $\large \boldsymbol {\frac nm} $
	D. a^n−m
	E. $\large \boldsymbol {\frac nm}$. a^n−m

1^ste manier : zonder de regel van de l'Hospital
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^n-a^n}{x^m-a^m}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\left(x-a\right)\left(x^{n-1}+ax^{n-2}+a^2x^{n-3}+\ldots+a^{n-1}\right)}{\left(x-a\right)\left(x^{m-1}+ax^{m-2}+a^2x^{m-3}+\ldots+a^{m-1}\right)}\\=\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^{n-1}+ax^{n-2}+a^2x^{n-3}+...+a^{n-1}}{x^{m-1}+ax^{m-2}+a^2x^{m-3}+...+a^{m-1}}=\frac{a^{n-1}+a^{n-1}+a^{n-1}+...+a^{n-1}}{a^{m-1}+a^{m-1}+a^{m-1}+...+a^{m-1}}\\=\frac{n.a^{n-1}}{m.a^{m-1}}=\frac{n}{m}a^{\left(n-1\right)-\left(m-1\right)}=\frac{n}{m}a^{n-m}$
2^de manier : met de regel van de l'Hospital
$\\\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^n-a^n}{x^m\!-\!a^m}\left(=\frac{0}{0}\right)\buildrel H\over=\lim_{x\rightarrow a}\;\frac{nx^{n-1}-0}{mx^{m-1}-0}=\frac{na^{n-1}}{ma^{m-1}}=\frac{n}{m}a^{\left(n-1\right)-\left(m-1\right)}=\frac{n}{m}a^{n-m}$