Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

$\lim_{x \to a }\; \frac {x^n-a^n} {x-a}$ is gelijk aan (n = 1, 2, 3, ...)	A. 1
B. a
C. aⁿ
D. a.n
E. n.aⁿ⁻¹

$\lim_{x \to a }\; \frac {x^n-a^n} {x-a}$ is equal to (n = 1, 2, 3, ...)	A. 1
B. a
C. aⁿ
D. a.n
E. n.aⁿ⁻¹

1^ste manier : zonder de regel van de l'Hospital
De veelterm V(x) = xⁿ − aⁿ is deelbaar door x − a want V(a) = aⁿ − aⁿ = 0.
Het quotiënt is te vinden met de Regel van HORNER :
$\\\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^n-a^n}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{\left(x-a\right)\left(x^{n-1}+a.x^{n-2}+a^2.x^{n-3}+\ldots+a^{n-1}\right)}{x-a}\\=\lim_{x\rightarrow a}\;\left(x^{n-1}+a.x^{n-2}+a^2.x^{n-3}+\ldots+a^{n-1}\right)\\=a^{n-1}+a.a^{n-2}+a^2.a^{n-3}+\ldots+a^{n-1}=n.a^{n-1} \qquad\text{(n dezelfde termen)}$
2^de manier : met de regel van de l'Hospital
$\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^n-a^n}{x-a}\left(=\frac{0}{0}\right)\buildrel H\over=\;\lim_{x\rightarrow a}\;\frac{n.x^{n-1}-0}{1-0}=n.a^{n-1}$