Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

$https://latex.codecogs.com/png.image?\inline \dpi{110}\displaystyle \lim_{x \to a}\: \frac{\sin x- \sin a}{x-a}=$	A. 1
B. 0
C. a
D. sin a
E. cos a

$https://latex.codecogs.com/png.image?\inline \dpi{110}\displaystyle \lim_{x \to a}\: \frac{\sin x- \sin a}{x-a}=$	A. 1
B. 0
C. a
D. sin(a)
E. cos(a)

1^ste manier : met de formules van SIMPSONfm
$\\\displaystyle\lim_{x\to a}\:\frac{\sin x-\sin a}{x-a}=\displaystyle\lim_{x\to a}\:\frac{2\cos\frac{x+a}{2}.\sin\frac{x-a}{a}}{x-a}\\=\cos\frac{a+a}{2}.\displaystyle\lim_{x\to a}\:\frac{\sin\frac{x-a}{2}}{\frac{x-a}{2}}=\cos\frac{2a}{2}.1=\cos a$
2^de manier : met de regel van de L'HOSPITAL
$\\\displaystyle\lim_{x\to a}\:\frac{\sin x-\sin a}{x-a}\left(=\frac00\right)\buildrel H\over=\displaystyle\lim_{x\to a}\:\frac{\cos x-0}{1-0}=\cos a$
3^de manier : met behulp van de definitie van afgeleide
$\lim_{h\to0}\frac{\sin{(}x+h)-\sin{(}x)}{h}=\;\mathbf{D}\sin{x}=\cos{x}$ voor x = a is dus
$\lim_{h\to0}\frac{\sin{(}a+h)-\sin{(}a)}{h}=\;\cos{a}$ vervang nu a + h door x, dan is h = x − a en zal x → a.
Je krijgt precies de gevraagde limiet, met uitkomst cos a