1ste manier : zonder de regel van de l'Hospital
We houden rekening met de formule voor het verschil van twee derdemachten :
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) of in het bijzonder
a³ − 1 = (a − 1)(a² + a + 1)
(\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x+1}+1)}{x\cdot(\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x+1}+1)}\\=\lim_{x\to\,0}\frac{x+1-1}{x\cdot(\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x+1}+1)}=\lim_{x\to\,0}\frac{1}{\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x+1}+1}\\=\lim_{x\to\,0}\frac{1}{\sqrt[3]{1^2}+\sqrt[3]{1}+1}=\frac{1}{1+1+1}=\frac13 "\inline\displaystyle\lim_{x\to\,0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}=\lim_{x\to\,0}\frac{(\sqrt[3]{x+1}-1)(\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x+1}+1)}{x\cdot(\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x+1}+1)}\\=\lim_{x\to\,0}\frac{x+1-1}{x\cdot(\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x+1}+1)}=\lim_{x\to\,0}\frac{1}{\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x+1}+1}\\=\lim_{x\to\,0}\frac{1}{\sqrt[3]{1^2}+\sqrt[3]{1}+1}=\frac{1}{1+1+1}=\frac13")
2de manier : met de regel van de l'Hospital
^{\frac13}-1}{x}\left(=\frac00\right)\overset{H}{=}\displaystyle\lim_{x\to\,0}\frac{\frac13.(x+1)^{-\frac23}}{1}=\frac13 "\inline\displaystyle\lim_{x\to\,0}\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}\lim_{x\to\,0}\frac{(x+1)^{\frac13}-1}{x}\left(=\frac00\right)\overset{H}{=}\displaystyle\lim_{x\to\,0}\frac{\frac13.(x+1)^{-\frac23}}{1}=\frac13")
gricha - v5949 - 20.9.2025
