Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

De onbepaalde integraal $\int x^2\cdot e^{2x}\: dx$ is, op een constante na, gelijk aan het product van een stambreuk, e^2x en de veelterm	A. 2x² − 1
B. 2x² − 2x + 1
C. x² − 1
D. x² − x + 1
E. x² − x − 1

$\int x^2\cdot e^{2x}\: dx$ = . e^2x. ??? + C	A. 2x² − 1
	B. 2x² − 2x + 1
	C. x² − 1
	D. x² − x + 1
	E. x² − x − 1

$\int x^2.\,e^{2x}\;dx=\frac12\int x^2.\,d\,e^{2x}\;\buildrel{P.I.}\over=\frac{1}{2}(x^2.e^{2x}-\int{e^{2x}dx^2})=\frac{1}{2}(x^2.e^{2x}-\int{e^{2x}2xdx})$
$=\frac{1}{2}(x^2.\,e^{2x}-\int{x\,d\,e^{2x}})\;\;\buildrel{P.I.}\over= =\;\frac{1}{2}\left(x^2.e^{2x}-(xe^{2x}-\int e^{2x}dx)\right)$
$=\frac12\left(x^2.e^{2x}-(xe^{2x}-\frac12\int e^{2x}d2x)\right)=\frac12\left(x^2.e^{2x}-(xe^{2x}-\frac12e^{2x})\right)+C\\=\frac{1}{4}\left(2x^2.e^{2x}\!\!-\!2xe^{2x}\!+e^{2x}\right)+C=\frac{1}{4}\left(2x^2.e^{2x}\!\!-\!2xe^{2x}\!+e^{2x}\right)+C=\frac{1}{4}e^{2x}(2x^2\!\!-\!2x+1)+C$