Processing math: 100%
Vind je een fout in de opgave, zelfs een spellingsfout of een layout die beter kan of een figuur die niet doorkomt, of een verkeerde vraag bij een opgave : gelieve mij een lege mail te sturen ( gricha@gricha.be ) met alleen in het onderwerp bv. vraag 9876 nakijken a.u.b. Bedankt !
De bepaalde integraal

is gelijk aan
|
A. 1 |
B. 2 |
C. π |
D. − 1 |
E. 0 |
[ 6-5331 - op net sinds 6.4.13-(E)-21.11.2024 ]
Translation in E N G L I S H
|
A. 1 |
B. 2 |
C. π |
D. − 1 |
E. 0 |
Oplossing - Solution
1ste manier :
We bereken eerst de onbepaalde integraal :
\small\int{x.\cos{}}x\ dx=\int x\ d\sin{x}=x.\sin{x}-\int{\sin{x}dx=}\ x.\sin{x}+\cos{x}+C
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}}{x.\cos{x} d\ x}=\left[x.\sin{x}+\cos{x}\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}}\\=\frac{\pi}{2}.\sin{\frac{\pi}{2}}+\cos{\frac{\pi}{2}}-\left(\left(-\frac{\pi}{2}\right)\sin{\left(-\frac{\pi}{2}\right)}+\cos{\left(-\frac{\pi}{2}\right)}\right)\\=\frac{\pi}{2}.1+0-\left(\frac{\pi}{2}+0\right)=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=0
2de manier :
De functie f(x) = x.cos x is oneven, de grafiek van f is dus symmetrisch t.o.v. de oorsprong.
De waarden van \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}{ x.\cos{x}\;d\,x} en \int_{0}^{+\frac{\pi}{2}}{ x.\cos{x}\;d\, x} zijn bijgevolg tegengesteld
zodat \int_{-\frac{\pi}{2}}^{+\frac{\pi}{2}}{ x.\cos{x}\;d\,x} wel nul moet zijn.