1ste manier :
^2}+\sqrt{x^2}}{h}\\=\displaystyle\lim_{h\to&space;0}\frac{(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2}).(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}{h.(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\=\displaystyle\lim_{h\to&space;0}\frac{{(x+h)^2-x^2}}{h.(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\=\displaystyle\lim_{h\to&space;0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h.(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\=\displaystyle\lim_{h\to&space;0}\frac{h(2x+h)}{h.(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\=\displaystyle\lim_{h\to&space;0}\frac{2x+h}{\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2}}\\=\frac{2x+0}{\sqrt{(x+0)^2}+\sqrt{x^2}}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}=\frac{x}{|x|}=\frac{|x|}{x} "\\D|x|=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h}=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2}}{h}\\=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2}).(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}{h.(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{{(x+h)^2-x^2}}{h.(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h.(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{h(2x+h)}{h.(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{2x+h}{\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2}}\\=\frac{2x+0}{\sqrt{(x+0)^2}+\sqrt{x^2}}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}=\frac{x}{|x|}=\frac{|x|}{x}")
2de manier :
3de manier :
De grafiek van f (x) = |x| bestaat uit twee halve rechten in V-vorm (met beginpunt de oorsprong).
Voor x < 0 is f '(x) = −1 (richtingscoëfficiënt van de tweede bissectrice)
Voor x > 0 is f '(x) = +1 (richtingscoëfficiënt van de eerste bissectrice)
Voor x = 0 is er geen afgeleide (de functie is in de oorsprong wel continu maar niet afleidbaar)
Aan alle drie de voorwaarden is voldaan bij de functie f(x) = |x| / x.
Alleen al aan het feit dat B de enige functie is die geen beeld heeft voor x = 0 zou je al dit antwoord kunnen nemen.
