Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

De reeks $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{2^n-1}{3^n}$ convergeert naar	A. \(\frac13\)
B. \(\frac23\)
C. \(2,25\)
D. \(\frac{13}{6}\)
E. \(1,5\)

The serie $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{2^n-1}{3^n}$ converges to	A. $\frac13$
	B. $\frac23$
	C. $2,25$
	D. $\frac{13}{6}$
	E. $1,5$

$\\\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^n-1}{3}=\!\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{2^n}{3^n}-\frac{1}{3^n}\right)=\!\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^n}{3^n}-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{3^n}=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac23\right)^n\!\!-\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac13\right)^n\!=(*)$
De eerste reeks is een reeks met reden $\frac23$, de tweede met reden $\frac13$, dus beiden convergent.
Via de formule $s=\frac {t_1}{1\,-\,q}$ berekenen we de reeksommen van beide reeksen trekken die van elkaar af :
$\\(*)=\frac{\frac23}{1-\frac23}-\frac{\frac13}{1-\frac13}=\frac{\frac23}{\frac13}-\frac{\frac13}{\frac23}=2-\frac12=\frac32$