Hoeveel oplossingen bezit de
volgende goniometrische vergelijking
in het interval   [ 0 , 2pigroot[   ?
sin2 x + sin2 2x = 0
(m.a.w. tel het aantal beeldpunten
op de goniometrische cirkel)
A.   6
B.   2
C.   3
D.   4
E.   5
A   B   C   D   E

[ 5-4481 - op net sinds .11.04-(E)-4.11.2023 ]

Translation in   E N G L I S H

How many solutions
has the next equation
in the interval   [ 0, 2pigroot)   ?

sin2 x + sin2 2x = 0
A.  6
B.  2
C.  3
D.  4
E.  5

Oplossing - Solution

1ste manier :
sin² x + sin² 2x = 0
sin² x + 4.sin² x . cos² x = 0
sin² x(1 + 4cos² x) = 0
sin² x = 0  ∨  cos² x = − ¼ (→ valse vergelijking)
sin x = 0
x = k.π → 2 punten op de goniometrische cirkel (0 en )
2de manier :
sin² x + sin² 2x = 0
Een som van kwadraten kan maar 0 zijn als elke term van die som 0 is
sin² x = 0  ∧  sin² 2x = 0
sin x = 0  ∧  sin 2x = 0
  x = k.π  ∧  2x = kπ
  x = k.π  ∧  x = k pi/2
x = k.π (want alle veelvouden van 180° zijn ook veelvouden van 90°)
  →2 punten op de goniometrische cirkel (0 en π )
3de manier :
sin² x + sin² 2x = 0
2sin² x + 2sin² 2x = 0
1 − cos2x + 2sin² 2x = 0
1 − cos2x + 2(1 − cos² 2x) = 0
2cos² 2x + cos 2x − 3 = 0
y = cos 2x  ∧  2y + y − 3 = 0
y = cos 2x  ∧  (y − 1)(2y + 3) = 0
cos 2x = 1    cos 2x = −1,5 (→ valse vergelijking)
2x = k.2π
x = k.π
gricha