De figuur met de ellips \(\boldsymbol{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\)
spreekt voor zichzelf. (F' brandpunt en F'D loodrecht op de grote as).
Welk stuk wordt van de (pos.) y-as afgesneden door de raaklijn t in D ?
De rechte x = − c snijdt de ellips b²x² + a²y² = a²b² in een punt waarbij de ordinaat (y-waarde) volgt uit b²(− c)² + a²y² = a²b² ⇔ b²(a² − b²) + a²y² = a²b² ⇔ b²a² − b4 + a²y² = a²b² ⇔ a²y² = b4 ⇔ \(y=\pm\frac{b^2}{a}\)
Het snijpunt in het tweede kwadrant is bijgevolg \( (− c,\frac{b^2}a)\)
De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dat punt volgt uit de afgeleide
(hier door impliciet b²x² + a²y² = a²b² te differentiëren ) :
2b²xdx + 2a²ydy = 0 ⇔ a²ydy = − b²xdx ⇔ \(\frac {dy} {dx} = -\frac{b^2x}{a^2y} \)
In het punt D is de afgeleide dus \(-\,\frac {b^2(-c)} {a^2(\frac{b^2}{a})}=\frac{b^2c}{\frac{a^2b^2}{a}}=\frac ca \)
De vergelijking van de raaklijn t is dan \(y-\frac {b^2} {a}=\frac ca(x+c)\)
En deze snijdt de y-as in \(y=\frac ca(0\!+\!c)\!+\!\frac{b^2}a = \frac{c^2}a\!+\!\frac{b^2}a\!=\frac{b^2+c^2}a=\frac{a^2}{a}\!=a \)
