Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

De oppervlakte van het 'peertje' wordt gegeven door (de figuur is de grafiek is van de kromme met vergelijking y² = x⁴ + x⁵ )	A. $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{120}\int_{0}^{-1}\!x^2\sqrt{1+x}\; dx$
	B. $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{120}\int_{0}^{-1}\!2\, x^2\sqrt{1+x}\; dx$
	C. $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{120}\int_{-1}^{\, 0}2\, x^2\sqrt{1+x}\; dx$
	D. $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{120}\int_{0}^{-1}4\,x^2\sqrt{1+x}\; dx$
	E. $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{120}\int_{-1}^{\, 0}\, x^2\sqrt{1+x}\; dx$

[ 6-2995 - op net sinds 18.6.11-(E)-15.10.2024 ]

Translation in E N G L I S H

The pear-shaped area (you see the graph of y² = x⁴ + x⁵ ) is given by	A. $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{120}\int_{0}^{-1}\!x^2\sqrt{1+x}\; dx$
	B. $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{120}\int_{0}^{-1}\!2\, x^2\sqrt{1+x}\; dx$
	C. $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{120}\int_{-1}^{\, 0}2\, x^2\sqrt{1+x}\; dx$
	D. $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{120}\int_{0}^{-1}4\,x^2\sqrt{1+x}\; dx$
	E. $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{120}\int_{-1}^{\, 0}\, x^2\sqrt{1+x}\; dx$

Oplossing - Solution

Uit de grafiek én de vergelijking kunnen we opmaken dat de grafiek
de y-as als symmetrieas moet hebben.
De oppervlakte van 'het groene peertje' kunnen we beschouwen als de dubbele oppervlakte van het deel boven de x-as.
Deze x-as heeft met de kromme twee gemeenschappelijke punten (−1, 0) en (0, 0) (volgt uit de oplossingen van x⁴ + x⁵ = 0)
Vermits $\small y^2 = x^4 + x^5 = x^4(1 + x) = (x^2.\sqrt{1+x}\:)^2 \;\; \Leftrightarrow \;\; y = \pm (x^2.\sqrt{1+x}\:) $
vinden we de oppervlakte met de formule $ 2\cdot \int_{-1}^{0}x^2.\sqrt{1+x}\:\,dx $