Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

De reeks $\large \mathbf{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{1.3.5.\cdots .(2n+1)}}$	A. $\large is\, divergent\, want \, {\lim_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}}> 1$
	B. $\large is\, convergent\, want \, {\lim_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}} = 0$
	C. $\large is\, convergent\, want \, {\lim_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}} = \frac{1}{2}$
	D. $is\, divergent\, want \, \, de\, algemene\, \newline \indent term\, nadert\, niet\, naar\, 0$
	E. $\large is\, divergent\, want \, {\lim_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}} = 0$

3 sept 2020 : allereerste keer vraag gemaakt met formules gecreëerd d.m.v. Online Latex Vergelijking Editor

[ 5-2674 - op net sinds .9.2020-(E)-6.8.2024 ]

Translation in E N G L I S H

The following series $\large \mathbf{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{1.3.5.\cdots .(2n+1)}}$	A. $\large is\, divergent\, because \, {\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}}> 1$
	B. $\large is\, convergent\, because \, {\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}} = 0$
	C. $\large is\, convergent\, because \, {\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}} = \frac{1}{2}$
	D. $\small is\, Divergent\, because\, the\, \newline \indent general\, term\, does\, not\, go\, to \, 0$
	E. $\large is\, divergent\, because \, {\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}} = 0$

Oplossing - Solution

Voor een reeks met positieve termen kan men het convergentiekenmerk van d'Alembert toepassen : is de limiet (waarvan sprake in de alternatieven) kleiner dan 1, dan is de reeks convergent. Die limiet is ½ want
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty }\frac{u_{n+1}}{u_n}=\displaystyle \lim_{n \to +\infty }\frac{\frac{(n+1)!}{1.3.5. \cdots .(2n+3)}}{\frac{n!}{1.3.5. \cdots .(2n+1)}}=\displaystyle \lim_{n \to +\infty }\frac{n+1}{2n+3}=\frac 12$