Voor welk getal
tussen  0  en  1
is het verschil tussen
x  en  x3  het grootst ? 		A.   \(\frac{\sqrt3}{3}\)
B.   \(\frac{\sqrt2}{2}\)
C.   \(\frac{1}{e}\) 
D.   \(\ln 2\)
E.   \(\frac{\sqrt3}{4}\)
A   B   C   D   E

[ 5-2449 - op net sinds 4.12.14-(E)-3.5.2025 ]

Translation in   E N G L I S H

For which value
between  0  and  1 
the difference between
x  and  x3  is the largest ? 		A.   \(\frac{\sqrt3}{3}\)
B.   \(\frac{\sqrt2}{2}\)
C.   \(\frac{1}{e}\) 
D.   \(\ln 2\)
E.   \(\frac{\sqrt3}{4}\)

Oplossing - Solution

We zoeken naar een extremum van de functie f (x) = x −x³.
Daarvoor berekenen we de afgeleide : f '(x) = 1 − 3x²
Het tekenverloop van f '(x) is bijgevolg   −   +   −
En het stijgen en dalen van f (x) is dus   ↓ ↑ ↓
Daar de nulwaarden van f '(x) verkregen worden door de vergelijking 1 − 3x² op te lossen [ ⇔ 3x² = 1 ⇔ x² = \(\frac13\) ⇔ x² = \(\frac39\) ⇔ x = ±v3op3 ] verkrijgen we een (relatief/lokaal) extremum van f (x) bij x = v3op3 (een getal tussen 0 en 1)
N.B. Je kan evengoed met de functie f (x) = x³ − x vertrekken, maar dan zal het relatief/extremum tussen 0 en 1 geen maximum zijn maar een minimum.
gricha