Wiskunde Multiple Choice Vraag uit Gricha's Wiskundige Vragenbank

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\displaystyle \lim_{x \to a} \: \frac{x\sqrt x-a\sqrt a}{\sqrt x - \sqrt a }$ _{( a > 0 )} is gelijk aan	A. 2
B. 2a
C. 3a
D. 4a²
E. a
F. 0

$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\displaystyle \lim_{x \to a} \: \frac{x\sqrt x-a\sqrt a}{\sqrt x - \sqrt a }$ ( a > 0 ) is equal to	A. 2
B. 2a
C. 3a
D. 4a²
E. a
F. 0

1^ste manier : d.m.v. toegevoegde vorm van de noemer
$\\\lim_{x\to a}\frac{x\sqrt x-a\sqrt a}{\sqrt x-\sqrt a}=\lim_{x\to a}\;\frac{\left(x\sqrt x-a\sqrt a\right)\left(\sqrt x+\sqrt a\right)}{\left(\sqrt x-\sqrt a\right)\left(\sqrt x+\sqrt a\right)}=\lim_{x\to a}\;\frac{x^2+x\sqrt{ax}-a\sqrt{ax}-a^2}{x-a}$
$=\lim_{x\to a}\;\frac{\left(x\!-\!a\right)\left(x\!+\!a\right)+\sqrt{ax}\left(x-a\right)}{x\!-\!a}=\lim_{x\to a}\;\left(x\!+\!a+\sqrt{ax}\right)=a+a+\sqrt{a^2}=3a$
2^de manier : d.m.v. toegevoegde vorm van de teller
$\\\lim_{x\to a}\;\frac{x\sqrt x-a\sqrt a}{\sqrt x-\sqrt a}=\lim_{x\to a}\;\frac{\left(x\sqrt x-a\sqrt a\right)\left(x\sqrt x+a\sqrt a\right)}{\left(\sqrt x-\sqrt a\right)\left(x\sqrt x+a\sqrt a\right)}=\lim_{x\to a}\frac{\left(x\sqrt x\right)^2-\left(a\sqrt a\right)^2}{x^2+a\sqrt{ax}-x\sqrt{ax}-a^2}$
$=\lim_{x\to a}\;\frac{x^3-a^3}{\left(x^2-a^2\right)-\sqrt{ax}\left(x-a\right)}=\lim_{x\to a}\;\frac{\left(x-a\right)\left(x^2+ax+a^2\right)}{\left(x-a\right)\left(x+a\right)-\sqrt{ax}\left(x-a\right)}$
$=\lim_{x\to a}\;\frac{x^2+ax+a^2}{x+a-\sqrt{ax}}=\frac{a^2+a^2+a^2}{a+a-a}=\ldots$
3^de manier : d.m.v. toegevoegde vormen (van teller én noemer)
$\\\lim_{x\to a}\;\frac{x\sqrt x-a\sqrt a}{\sqrt x-\sqrt a}=\lim_{x\to a}\;\frac{\left(x\sqrt x-a\sqrt a\right)\left(x\sqrt x+a\sqrt a\right)\left(\sqrt x+\sqrt a\right)}{\left(\sqrt x-\sqrt a\right)\left(\sqrt x+\sqrt a\right)\left(x\sqrt x+a\sqrt a\right)}$
$=\lim_{x\to a}\;\frac{\left(x^3-a^3\right)\left(\sqrt x+\sqrt a\right)}{\left(x-a\right)\left(x\sqrt x+a\sqrt a\right)}=\lim_{x\to a}\;\frac{\left(x^2+ax+a^2\right)}{1}\frac{\left(\sqrt x+\sqrt a\right)}{\left(x\sqrt x+a\sqrt a\right)}$
$=\frac{3a^2.2\sqrt a}{2a\sqrt a}=3a$
4^de manier : d.m.v. de regel van de l'Hospital
$\\\lim_{x\to a}\;\frac{x\sqrt x-a\sqrt a}{\sqrt x-\sqrt a}=\lim_{x\to a}\;\frac{x^\frac{3}{2}-a\sqrt a}{x^\frac{1}{2}-\sqrt a}\left(=\frac{0}{0}\right)\overset{H}{=}\lim_{x\to a}\;\frac{\frac{3}{2}x^\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}}$
$=\lim_{x\to a}\;\frac{3}{2}.2x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=\lim_{x\to a}\;3x=3a$

^{gricha - v2396 - 29.8.2012}