Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\frac{k^7}{7}+\frac{n^5}{5}+\frac{2.n^3}{3}-\frac{n}{105}\: \in \mathbb{N}$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 (0 is triviaal) is de uitdrukking gelijk aan $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\frac 17 + \frac 15 + \frac 23 -\frac{1}{105}=\frac{15+21+70-1}{105}=1 \to geheel$

Deel II	Gegeven :	$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\frac{k^7}{7}+\frac{k^5}{5}+\frac{2.k^3}{3}-\frac{k}{105}\: \in \mathbb{N}$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\frac{(k+1)^7}{7}+\frac{(k+1)^5}{5}+\frac{2.(k+1)^3}{3}-\frac{k+1}{105}\: \in \mathbb{N}$
	Bewijs :	Uit de driehoek van PASCAL volgt :
		Op de eerste en de laatste na zijn de termen van (k+1)³ deelbaar door 3 Op de eerste en de laatste na zijn de termen van (k+1)⁵ deelbaar door 5 Op de eerste en de laatste na zijn de termen van (k+1)⁷ deelbaar door 7 Dit betekent dat het volstaat de volgende uitdrukking te onderzoeken :
		__ $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{99}\frac{k^7+1}{7}+\frac{k^5+1}{5}+\frac{2k^3+2}{3}-\frac{k+1}{105}$
		__ $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}=\left ( \frac{k^7}{7}+\frac{k^5}{5}+\frac{2k^3}{3}-\frac{k}{105} \right )+\left ( \frac 17 + \frac 15 + \frac 23 - \frac{1}{105} \right )$
		De eerste van twee termen is geheel omwille van de inductiehypotese, de tweede term is gelijk aan 1 (zie Deel I) De hele som is dus een geheel getal Q.E.D.
		__ De coëfficiënten van (k+7)⁷ zijn te halen uit de 7^de rij van de driehoek van PASCAL. De coëfficiënten van (k+5)⁵ zijn te halen uit de 5^de rij van de driehoek van PASCAL.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP