Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	7²ⁿ − 48n + 8 =
m.a.w.	7²ⁿ − 48n + 8 is deelbaar door 9
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 0 is de uitdrukking gelijk aan 7⁰ − 0 + 8 = 9 → O.K.

Deel II	Gegeven :	7^2k − 48k + 8 = ( I.H.)
	Te bewijzen:	7^2(k+1) − 48(k+1) + 8 =
	Bewijs :	1^ste manier : LL = 49.7^2k − 48k − 48 + 8
		__ = 7^2k + 48.7^2k − 48k +8 − 48
		__ = (7^2k − 48k + 8) + 48.(7^2k − 1)
		__ = (7^2k − 48k + 8) + 48.[(7^k)^² − 1]
		__ = (7^2k − 48k + 8) + 48.(7^k − 1)(7^k + 1)
		^{en wegens de formule (aⁿ − 1) = (a − 1)(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻² + aⁿ⁻³ + ... + a + 1)}
		__ = (7^2k − 48k + 8) + 48.(7 − 1)(7^k−1 + 7^k−2 + ... 1)(7^k + 1)
		__ = (7^2k − 48k + 8) + 16.3.3.2.(7^k−1 + 7^k−2 + ... 1)(7^k + 1)
		De eerste term is deelbaar door 9 omwille van de inductiehypothese, de tweede omdat we de factor 9 (=3.3) hebben kunnen afzonderen. De hele som is dus deelbaar door 9 Q.E.D.
		2^de manier :
		LL = 49.7^2k − 48k − 48 + 8
		__ = 49.7^2k + 49.(−48k) + 49.48k − 48k + 49.8 − 49.8 − 40
		__ = 49.(7^2k − 48k + 8) + 48.48k − 49.8 − 40
		__ = 49.(7^2k − 48k + 8) + 9.16.16k − 8.(49 − 5)
		__ = 49.(7^2k − 48k + 8) + 9.16.16k − 8.45
		De eerste term is deelbaar door 9 omwille van de inductiehypothese, de tweede omdat we de factor 9 hebben kunnen afzonderen, de derde omdat 45 deelbaar is door 9. De hele som is dus deelbaar door 9 Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 0 (Deel I),
n = 1 (Deel II), n = 2 (Deel II), n = 3 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP