Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2 \end{bmatrix}\; \: \Rightarrow \; \: \mathbf{A}^n= \begin{bmatrix} 1 & 2^n\!-\!1 \\ 0 & 2^n \end{bmatrix}$
Bewijs :
Deel I	$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}voor\; n=1\; is\quad \mathbf{A}^{1}= \begin{bmatrix} 1 & 2^1\!-\!1 \\ 0 & 2^1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\0&2\\\end{bmatrix}=\boldsymbol{A}\rightarrow O.K.$

Nu gaan we bewijzen dat S( k ) ⇒ S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor n = k+1

Deel II	Gegeven :	$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\mathbf{A}^k= \begin{bmatrix} 1 & 2^k\!-\!1 \\0&2^k\end{bmatrix}$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\mathbf{A}^{k+1}= \begin{bmatrix} 1 & 2^{k+1}\!-\!1 \\0&2^{k+1}\end{bmatrix}$
	Bewijs :	$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}LL=\mathbf{A}^{k+1}=\mathbf{A}^{k}.\mathbf{A}= \begin{bmatrix} 1 & 2^{k}\!-\!1 \\0&2^{k}\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}&space;1&space;&&space;1\\&space;0&space;&&space;2&space;\end{bmatrix}\\{\color{Yellow} .}\qquad = \begin{bmatrix} 1 & 1+2^{k+1}\!-\!2 \\0&0+2^{k}.2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 2^{k+1}\!-\!1 \\0&2^{k+1}\end{bmatrix}=RL$ Q.E.D.
		_{Je hoeft A.A^k niet uit te rekenen want A en A^k zijn altijd commutatief}

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP