Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}t_n\geqslant \sqrt{n!}\quad (n=1,2,3,...)$
	voor de rij *t₁= 1, t₂ = 2, t_n= t_n−1 + (n−1).t_n−2* (n=3,4,..)
Bewijs :
Deel I	We gebruiken hier de "sterke" inductie : we controleren niet één maar twee initiële waarden, nl. voor n=1 en n=2 (wat ook in "Gegeven:" van Deel II terug te vinden is) Voor n = 1 is $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\sqrt{n!}=\sqrt{1!}=\sqrt{1}=1$ = t₁ Voor n = 2 is $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\sqrt{n!}=\sqrt{2!}=\sqrt{2}\approx 1,41$ < 2 = t₂

Deel II	Gegeven :	$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}t_{k-1}\geqslant \sqrt{(k-1)}$ $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}t_{k}\geqslant \sqrt{k}$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}t_{k+1}\geqslant \sqrt{(k+1)!}$
	Bewijs :	$https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}t_{k+1} = t_k + k.t_{k-1}$
		__ $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\geqslant\sqrt{k!}+k.\sqrt{(k-1)!}$
		__ $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}=\sqrt{k.\, (k-1)!}+k.\sqrt{(k-1)!}$
		__ $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}=\sqrt{(k-1)!}\cdot (\sqrt{k}+k)$
		__ $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}=\sqrt{(k-1)!}\cdot \sqrt{k}.\sqrt{k+1}\cdot \frac{\sqrt{k}+k}{\sqrt{k}.\sqrt{k+1}}$
		__ $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}=\sqrt{(k+1)!}\cdot \frac{\sqrt{k}+k}{\sqrt{k}.\sqrt{k+1}}\geqslant\sqrt{(k+1)!}=RL$
		op voorwaarde dat we kunnen aantonen dat de breuk (die we als het ware hebben weggelaten) groter of gelijk is aan 1. M.a.w. we moeten nog bewijzen dat teller ≥ noemer
		__ $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\sqrt{k}+k\geqslant \sqrt{k}.\sqrt{k+1}$
		__ $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\Leftrightarrow \; (\sqrt{k}+k)^2\: \geqslant\: k\cdot (k+1)$
		__ $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\Leftrightarrow \; k+2k\sqrt{k}+k^2\: \geqslant\: k^2+k$
		__ $https://latex.codecogs.com/png.image?\dpi{110}\Leftrightarrow \; 2k\sqrt{k}\: \geqslant\: 0$
		__ en dat is waar voor alle k ≥ 0 Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 en 2 (Deel I),
n = 2 en 3 (Deel II), n = 3 en 4 (Deel II), n = 4 en 5 ... m.a.w. voor elke n > 0

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP