Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	$\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 1 & x\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\; \: \Rightarrow \; \: \mathbf{A}^n= \begin{bmatrix} 1 & nx \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
Bewijs :
Deel I	$voor\; n=1\; is\quad \mathbf{A}^{1}= \begin{bmatrix} 1 & 1.x \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\boldsymbol{A}\rightarrow O.K.$

Deel II	Gegeven :	$\mathbf{A}^k= \begin{bmatrix} 1 & kx \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$\mathbf{A}^{k+1}= \begin{bmatrix} 1 & (k\!+\! 1)x \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
	Bewijs :	LL = A^k+1 = A^k.A
		__ $\mathbf{A}^{k+1}=\mathbf{A}^k.\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & kx \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & x\! +\!kx \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow O.K.$
		__ $=\begin{bmatrix} 2(k\!+\!1)+k(-1)&k+1+k.0\\ -2k-(1\!-\!k)&-k+(1\!-\!k).0\\ \end{bmatrix}$
		__ $=\begin{bmatrix} k\!+\!2&k\!+\!1\\ -k\!-1&-k\\ \end{bmatrix} = RL \quad Q.E.D.$

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP