Te bewijzen :	\(\boldsymbol{A=\begin{bmatrix}\, 1&1\\1&1\, \\\end{bmatrix}\; \Rightarrow \; A^n=2^{n-1}\begin{bmatrix}\, 1&1\\1&1\, \\\end{bmatrix}}\)
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is \(\boldsymbol{A^1=2^{1-1}\begin{bmatrix}\, 1&1\\1&1\, \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\, 1&1\\1&1\, \\\end{bmatrix}}\) → O.K.

Nu gaan we bewijzen dat  S( k ) ⇒  S( k+1)
m.a.w. dat als de stelling geldt voor n = k, ze ook zal gelden voor  n = k + 1

Deel II	Gegeven :	\(A^k=2^{k-1}\begin{bmatrix}\, 1&1\\1&1\, \\\end{bmatrix} \)
	Te bewijzen:	\(A^{k+1}=2^{k}\begin{bmatrix}\, 1&1\\1&1\, \\\end{bmatrix} \)
	Bewijs :	\(LL= A^{k+1}=A^k\cdot A \)
		__ \(=2^{k-1}\begin{bmatrix}\, 1&1\\1&1\, \\\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}\, 1&1\\1&1\, \\\end{bmatrix} \)
		__ \(=2^{k-1}\begin{bmatrix}\, 2&2\\2&2\, \\\end{bmatrix} \)
		__ \(=2^{k-1}.\:2\begin{bmatrix}\, 1&1\\1&1\, \\\end{bmatrix} =2^k\begin{bmatrix}\, 1&1\\1&1\, \\\end{bmatrix} =RL \quad Q.E.D. \)

---

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ...   m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

---

I.H. = Inductiehypothese     Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel  I  = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP

---