Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is
131 − 22 = 13 − 4 = 9 → OK
| Te bewijzen : | 13n − 22n is deelbaar door 9 |
| m.a.w. | 13n − 22n =
|
| Bewijs : | |
| Deel I |
(de waarde n = 0 is triviaal dus beginnen we met 1) Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 is 131 − 22 = 13 − 4 = 9 → OK |
| Deel II | Gegeven : |
13k − 22k = ( I.H.)
|
| Te bewijzen: |
13k+1 − 22k+2 =
| |
| Bewijs : | 13k+1 − 22k+2 | |
| __ = 13.13k − 4.22k | ||
| __ = 9.13k + 4.13k − 4.22k | ||
| __ = 9.13k + 4.(13k − 22k) | ||
|
De eerste term is deelbaar door 9, de tweede ook en dit omwille van de inductiehypothese. Beide termen zijn dus deelbaar door 9 Q.E.D. | ||
|
De eigenschap kan ook bewezen worden zonder volledige inductie ! Rekening houdend met de formule (an − bn) = (a − b).(an−1 + an−2.b + ... + bn) kunnen we 13n − 22n schrijven als 13n − 4n en dus ook als (13 − 4).(13n−1 + 13n−2.4 + ... + 4n) Dit product bestaat uit de factor 9 (=13−4) vermenigvuldigd met een natuurlijk getal. Bijgevolg is dit product een negenvoud. |