Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :
	$1\, 0\, 0\!\underbrace{1\cdots\cdots 1}_{ n\; eentjes}\!7\quad \text{is deelbaar door 53}$
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 0 is het getal gelijk aan 1007 wat een getal is dat deelbaar is door 53 want 1007 = 53×19

Deel II	Gegeven :	$1\, 0\, 0\!\underbrace{1\cdots\cdots 1}_{ k\; eentjes}\!7\quad \text{is deelbaar door 53}$ ^( I.H.)
	Te bewijzen:	$1\, 0\, 0\!\underbrace{1\cdots\cdots 1}_{ k+1\; eentjes}\!7\quad \text{is deelbaar door 53}$
	Bewijs :	$1\, 0\, 0\!\underbrace{1\cdots\dots 1}_{ k+1\; eentjes}\!7 = 1\, 0\, 0\!\underbrace{1\cdots\dots 1}_{ k\; eentjes}\!7+ \left [ 1\, 0\, 0\!\underbrace{1\cdots\dots 1}_{ k+1\; eentjes}\!7 -1\, 0\, 0\!\underbrace{1\cdots\dots 1}_{ k\; eentjes}\!7 \right ]$
		__ $= 1\, 0\, 0\!\underbrace{1\cdots\dots 1}_{ k\; eentjes}\!7 + \left [ (1001 - 100)\cdot 10^{k+1} \right]$
		__ $= 1\, 0\, 0\!\underbrace{1\cdots\dots 1}_{ k\; eentjes}\!7 + \left [ 901\cdot 10^k \right]$
		__ $= 1\, 0\, 0\!\underbrace{1\cdots\dots 1}_{ k\; eentjes}\!7 + \left [ 53\cdot17\cdot 10^k \right]$
		De eerste term is deelbaar door 53 omwille van de Inductiehypothese, de tweede omwille van de factor 53. De hele som is dus deelbaar door 53 Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 0 (Deel I),
n = 1 (Deel II), n = 2 (Deel II), n = 3 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP