Bewijs door Volledige Inductie

Te bewijzen :	10ⁿ⁺¹ − 9n − 10 is deelbaar door 81
m.a.w.	81 \| 10ⁿ⁺¹ − 9n − 10
Bewijs :
Deel I	Voor de kleinste n-waarde, nl. 1 (0 is triviaal) is de uitdrukking gelijk aan 10² − 9 − 10 = 100 − 19 = 81 → OK.

Deel II	Gegeven :	10^k+1 − 9k − 10 is deelbaar door 81 ( I.H.)
	Te bewijzen:	10^k+2 − 9(k+1) − 10 is deelbaar door 81
	Bewijs : 1^ste manier	10^k+2 − 9(k+1) − 10
		__ = 10.10^k+1 − 9k − 19
		__ = 10.10^k+1 − 90k + 81k − 100 + 81
		__ = 10.(10^k+1 − 9k − 10) + 81.(k + 1)
		De eerste term is deelbaar door 81 omwille van de Inductiehypothese, de tweede omdat we de factor 81 hebben kunnen voorop brengen. De hele som is dus deelbaar door 81 Q.E.D.
	Bewijs : 2^de manier	10^k+2 − 9(k+1) − 10
		__ = (10^k+1 − 9k − 10) + 9.10^k+1 − 9
		__ = (10^k+1 − 9k − 10) + 9.(10^k+1 − 1)
		De eerste term is deelbaar door 9 omwille van de Inductiehyp. De tweede is al minstens deelbaar door 9 maar ��k 10^k+1− 1 is deelbaar door 9 want een macht van 10 verminderd met 1 bestaat enkel uit de cijfers 9. (bv. 10⁴− 1 = 9999) De hele som is dus deelbaar door 81 Q.E.D.

Door het principe van volledige inductie is de stelling waar voor n = 1 (Deel I),
n = 2 (Deel II), n = 3 (Deel II), n = 4 ... m.a.w. voor elk natuurlijk getal n

I.H. = Inductiehypothese Q.E.D. = quod erat demonstrandum
Deel I = BASIC STEP
Deel II = INDUCTIVE STEP